Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\frac{1}{(- 1) - 3}$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta $3$ de $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 4}$

Paso 1.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = - \frac{1}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica el denominador.

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Paso 2.6.1

Resta $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{16}$ y un punto dado $(- 1, - \frac{1}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

Paso 3.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $\frac{1}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

Paso 3.3.2.5

Resta $4$ de $- 1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

Paso 3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

Paso 4