Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{x^{3}}$ por $0$ .

$3 x^{- 4} + 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $3 x^{- 4}$ y $0$ .

$3 x^{- 4}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{x^{4}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$\frac{3}{{(- 1)}^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 1.5.2

Divide $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $3$ y un punto dado $(- 1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$y - 1 = 3 x + 3$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3 x + 3 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$y = 3 x + 4$

Paso 3