Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{5}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 1.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.4.4

Reordena los términos.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.6.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.6.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 1.6.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Paso 1.6.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Paso 1.6.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Paso 1.6.2

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.6.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Paso 1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Paso 1.6.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{8}$ y un punto dado $(4, \frac{5}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{8}$ y $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{5}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Paso 2.3.2.3

Suma $- 1$ y $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Paso 2.3.2.4

Divide $4$ por $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Paso 3