Cálculo Ejemplos

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 5 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 5 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x$ .

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$- 15 e^{- 5 x}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$- 15 e^{0}$

Paso 1.5.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 15 \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$- 15$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 15$ y un punto dado $(0, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 3 = - 15 x$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 15 x + 3$

Paso 3