Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 - \ln (x)$ ; $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 8 - \ln (1)$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 8 - \ln (1)$

Paso 1.2.2

Simplifica $8 - \ln (1)$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$y = 8 - 0$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$y = 8 + 0$

Paso 1.2.2.2

Suma $8$ y $0$ .

$y = 8$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 - \frac{1}{x}$

Paso 2.3

Resta $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.5.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 2.5.1.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(1, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 1 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.4.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 8 = - x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 8 = - x + 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + 1 + 8$

Paso 3.3.2.2

Suma $1$ y $8$ .

$y = - x + 9$

Paso 4