Cálculo Ejemplos

$y = 12 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 6 π)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{2}$ y $y = 6 π$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x \sin (x)$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$12 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Paso 1.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$12 (x \cos (x) + \sin (x))$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x \cos (x) + 12 \sin (x)$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{2}$ .

$12 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.1.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7.1.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 6 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7.1.1.3

Reescribe la expresión.

$6 π \cos (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$6 π \cdot 0 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7.1.3

Multiplica $6 π \cdot 0$ .

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Paso 1.7.1.3.1

Multiplica $0$ por $6$ .

$0 π + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7.1.3.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$0 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.7.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 12 \cdot 1$

Paso 1.7.1.5

Multiplica $12$ por $1$ .

$0 + 12$

Paso 1.7.2

Suma $0$ y $12$ .

$12$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $12$ y un punto dado $(\frac{π}{2}, 6 π)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6 π) = 12 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 π = 12 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $12 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 π = 0 + 0 + 12 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 6 π = 12 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 π = 12 x + 12 (- \frac{π}{2})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$y - 6 π = 12 x + 12 \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$y - 6 π = 12 x + 2 (6) \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y - 6 π = 12 x + 2 \cdot 6 \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y - 6 π = 12 x + 6 (- π)$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y - 6 π = 12 x - 6 π$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $6 π$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 12 x - 6 π + 6 π$

Paso 2.3.2.2

Combina los términos opuestos en $12 x - 6 π + 6 π$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Suma $- 6 π$ y $6 π$ .

$y = 12 x + 0$

Paso 2.3.2.2.2

Suma $12 x$ y $0$ .

$y = 12 x$

Paso 3