Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{5}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Paso 1.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Paso 1.3.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Paso 1.3.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Paso 1.3.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Paso 1.3.13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Paso 1.3.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Paso 1.3.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.3.14

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.6.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{1 + 1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.1.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.6.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.6.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 1.6.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 1.6.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{3}}$

Paso 1.6.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{1 + 3}}$

Paso 1.6.1.3.4

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{4}}$

Paso 1.6.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Paso 1.6.2

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Paso 1.6.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.6.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 1}{16}$

Paso 1.6.5

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{3}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{3}{16}$ y un punto dado $(4, \frac{5}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{3}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{3}{16}$ y $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 (4)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{3}{4}$ y $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Paso 2.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.7.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3}{4}$

Paso 2.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{5}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{5}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 5 \cdot 2}{4}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 10}{4}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{7}{4}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{7}{4}$

Paso 3