Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{4}{9}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{4}{9}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{4}{9}$ por $x$ .

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Paso 1.2

Simplifica $\sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Paso 1.2.2

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{9}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Paso 1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Paso 1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{2}{\sqrt{9}}$

Paso 1.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 1.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{2}{3}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{4}{9}$ y $y = \frac{2}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.9

Evalúa la derivada en $x = \frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.10.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.10.1.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.10.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Paso 2.10.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.10.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Paso 2.10.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{1}}}$

Paso 2.10.1.3.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.10.2

Combina fracciones.

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Paso 2.10.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{3}}$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 2.10.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 2.10.4

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{3}{4}$ y un punto dado $(\frac{4}{9}, \frac{2}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{3}) = \frac{3}{4} \cdot (x - (\frac{4}{9}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{2}{3} = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{9}$ al numerador.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{9}$

Paso 3.3.1.5.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 (3)}$

Paso 3.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 3}$

Paso 3.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Paso 3.3.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{3}$

Paso 3.3.1.6.2

Cancela el factor común.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Paso 3.3.1.6.3

Reescribe la expresión.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{2}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1 + 2}{3}$

Paso 3.3.2.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{3}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{3}$

Paso 4