Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica $- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 1.2.2.2.2

Suma $- 3 \sqrt{2}$ y $3 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 1.2.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 1.2.2.2.3.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{4}$ y $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Paso 2.3.2

Como $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Paso 2.3.3

Como $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

Paso 2.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.1

Suma $3 \sin (x)$ y $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 \sin (x)$ y $0$ .

$3 \sin (x) + 0$

Paso 2.4.3

Suma $3 \sin (x)$ y $0$ .

$3 \sin (x)$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.6.2

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ y un punto dado $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ y $x$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

Paso 3.3.2.2

Suma $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 3.3.2.4

Suma $- 3 \sqrt{2} π$ y $3 \sqrt{2} π$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

Paso 3.3.2.5

Combina los términos opuestos en $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ .

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Paso 3.3.2.5.1

Divide $0$ por $8$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ y $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena $- 2$ y $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

Paso 3.3.3.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

Paso 4