Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Paso 1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.3.3

Resta $2$ de $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Paso 1.2.3.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{1}{36}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ como ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x^{3} - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina los términos.

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Paso 2.5.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Paso 2.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Paso 2.5.2

Reordena los factores de $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Paso 2.6

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Paso 2.7.1.3

Resta $2$ de $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Paso 2.7.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Paso 2.7.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Paso 2.7.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Paso 2.7.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.7.2.2.1

Resta $1$ de $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Paso 2.7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Paso 2.7.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $216$ .

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Paso 2.7.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Paso 2.7.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Paso 2.7.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Paso 2.7.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Paso 2.7.2.2.4

Combina $- 11$ y $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Paso 2.7.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{108}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{11}{108}$ y un punto dado $(2, \frac{1}{36})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11}{108}$ al numerador.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.2.3.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2.4

Combina $\frac{- 11}{54}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Paso 3.3.1.2.5

Multiplica $- 11$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Paso 3.3.1.3

Mueve $11$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{1}{36}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $\frac{11}{54}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Paso 3.3.2.3

Para escribir $\frac{1}{36}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $108$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $\frac{11}{54}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.4.2

Multiplica $54$ por $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{36}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.4.4

Multiplica $36$ por $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Paso 3.3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Paso 3.3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.6.1

Multiplica $11$ por $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Paso 3.3.2.6.2

Suma $22$ y $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Paso 4