Cálculo Ejemplos

$\int (x^{2} - 1) \sqrt{2 x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- \frac{1}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int ({u_{2}}^{2} - 1) {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 4

Sea $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Entonces $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 u_{2} + 1$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $2 u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ como $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ .

$\int ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Paso 6.2