Cálculo Ejemplos

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.2.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.5

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.6

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.3.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.3.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.7.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.7.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.7.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.7.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.7.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.9

Simplifica.

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Paso 9.3.1.9.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.9.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11

Simplifica.

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Paso 9.3.1.11.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.11.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 9.3.1.11.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.11.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 9.3.1.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.1.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ .

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Paso 9.3.2.1

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.2.2

Suma $4 x^{5} - 2 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.3.3

Resta $2 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 2 x$ .

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Paso 9.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.5

Simplifica.

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Paso 9.4.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

Paso 9.4.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

Paso 9.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 9.6.1

Factoriza $x$ de $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

Paso 9.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 9.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 9.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$