Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (1 - x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Paso 2

Combina $x$ y $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 4.1.2

Multiplica $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ por $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 4.2

Reordena $1$ y $- x$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Paso 5

Divide $x$ por $- x + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 8

Sea $u = - x + 1$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = - x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 8.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 8.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Paso 8.5.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Paso 12

Combina $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ y $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\ln (1 - x) x - x$ en $1$ y en $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Paso 13.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $0$ y en $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 13.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 13.3.3

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 13.4

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 14

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida