Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x + 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Paso 3.3

Suma $2$ y $2$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Paso 4.3

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Paso 4.4

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Paso 4.5

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Paso 7

Evalúa $- {u_{2}}^{- 1}$ en $\ln (t + 2)$ y en $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Paso 8.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Paso 8.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Paso 8.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ se acerca a $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Paso 8.5

Evalúa el límite.

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Paso 8.5.1

Evalúa el límite de $\ln^{- 1} (4)$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Paso 8.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.5.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Paso 8.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Paso 8.5.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Forma decimal:

$3.60673760 \dots$