Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x}$ como $\frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x}$ .

$\int \frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\tan (2 \ln (x))}{x} d x$

Paso 3

Sea $u = 2 \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{2}{x} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 2}{x} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 2 \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{1}{x}$

Paso 3.1.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \tan (u) d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \tan (u) d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \tan (u) d u$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int \tan (u) d u$

Paso 6

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (u) |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 \ln (x)$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (2 \ln (x)) |) + C$