Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Paso 4

Mueve $9$ a la izquierda de $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 5.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Paso 5.5

Suma $1$ y $3$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $4$ y en $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Paso 8.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Paso 8.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Paso 8.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Paso 8.2.5

Suma $- 1$ y $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Paso 8.2.6

Combina $\frac{3}{4}$ y $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Paso 8.2.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Paso 8.2.8

Combina $\frac{27}{4}$ y $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{27 π}{4}$

Forma decimal:

$V = 21.20575041 \dots$

Paso 10