Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{6} - x$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

Paso 4

Multiplica $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $x^{5}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 5.1.2

Resta $2$ de $5$ .

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 5.2

Reescribe $- 1 x^{- 2}$ como $- x^{- 2}$ .

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $x^{- 1}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$