Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x + 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x + 1}$

Paso 1.1.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x + 1}$

Paso 1.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

Paso 1.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{1}$

Paso 1.4

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Paso 2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\infty$