Cálculo Ejemplos

$\int (x - 1) (x + a) d x$

Paso 1

Expande $(x - 1) (x + a)$ .

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x (x + a) - 1 (x + a) d x$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x a - 1 (x + a) d x$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x + x a - 1 x - 1 a d x$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x + x a - 1 x - 1 a d x$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x a - 1 x - 1 a d x$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + 1} + x a - 1 x - 1 a d x$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int x^{2} + x a - 1 x - 1 a d x$

Paso 1.8

Reordena $- 1 x$ y $- 1 a$ .

$\int x^{2} + x a - 1 a - 1 x d x$

Paso 1.9

Mueve $x a$ .

$\int x^{2} - 1 a + x a - 1 x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 1 a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $- 1 a$ como $- a$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

Paso 5.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - x d x$

Paso 6

Dado que $a$ es constante con respecto a $x$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a \int x d x + \int - x d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - x d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int x d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - a x + \frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} - a x + \frac{1}{2} a x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + C$