Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Paso 5.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$