Cálculo Ejemplos

$y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ por $y (x + 1)$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ por $y (x + 1)$ .

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{x}{x + 1}$ por $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{(x + 1) y}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $y$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $y^{2} + 1$ de $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Paso 1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Paso 1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y^{2} + 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 2.3.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 2.3.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 2.3.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 2.3.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 2.3.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.3.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x + 2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |) = 2 x + 2 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 x + 2 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Paso 3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2})} = e^{2 x + 2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$

Paso 3.7.2

Divide cada término en $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ por ${(x + 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Divide cada término en $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ por ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.2.2.1.2

Divide $| y^{2} + 1 |$ por $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1$

Paso 3.7.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x} e^{C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Paso 4.3

Reordena $e^{2 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{C} e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C \frac{C e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$