Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Paso 2.3

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{- 2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

Paso 2.3.2

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Paso 6.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

Paso 6.5

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.5.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.5.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 6.5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

Paso 6.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

Paso 6.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Paso 6.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Paso 6.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

Paso 6.10

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

Paso 6.11

Simplifica.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

Paso 6.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{3} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.2.2

Divide $- \frac{1}{9}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{3 x}$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Factoriza $e^{3 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.3.2.4

Divide $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.2

Resta $\frac{1}{9}$ de $\frac{1}{3} x$ .

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Paso 7.3.2.1

Reordena $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.2.2

Para escribir $x \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.2.3

Combina $x \frac{1}{3}$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.4

Para escribir $e^{- 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 7.3.5.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.6.1

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.6.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.7

Para escribir $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.8

Para escribir $\frac{C}{e^{3 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 7.3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 e^{3 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.9.1

Multiplica $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 7.3.9.2

Multiplica $\frac{C}{e^{3 x}}$ por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Paso 7.3.9.3

Reordena los factores de $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.11.2

Simplifica.

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Paso 7.3.11.2.1

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.11.2.1.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.11.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.11.2.1.3

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.11.2.2

Reescribe $- 1 e^{3 x}$ como $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Paso 7.3.11.3

Mueve $9$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$