Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.3.2.4

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $6 e^{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

Paso 1.4.2.4

Divide $3 e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

Paso 3.4

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $e^{- x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

Paso 3.4.3

Suma $- x$ y $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

Paso 3.5

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

Paso 7.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

Paso 7.3

Simplifica.

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $3 e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.4

Divide $3 e^{- x}$ por $1$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $6$ por $y$ en $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ .

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ .

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Paso 10.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Paso 10.2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$3 + \frac{C}{1} = 6$

Paso 10.2.4

Divide $C$ por $1$ .

$3 + C = 6$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 6 - 3$

Paso 10.3.2

Resta $3$ de $6$ .

$C = 3$

Paso 11

Sustituye $3$ por $C$ en $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $3$ por $C$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$