Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} = - 5 t e^{- 0.2 t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d P = - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d P = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$P + C_{1} = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = - 5 \int t e^{- 0.2 t} d t$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{- 0.2 t}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \int - 5 e^{- 0.2 t} d t)$

Paso 2.3.3

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - (- 5 \int e^{- 0.2 t} d t))$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{- 0.2 t} d t)$

Paso 2.3.5

Sea $u = - 0.2 t$ . Entonces $d u = - 0.2 d t$ , de modo que $\frac{1}{- 0.2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = - 0.2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $- 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$

Paso 2.3.5.1.2

Como $- 0.2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 0.2 t$ con respecto a $t$ es $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.2 \cdot 1$

Paso 2.3.5.1.4

Multiplica $- 0.2$ por $1$ .

$- 0.2$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} \frac{1}{- 0.2} d u)$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} (- \frac{1}{0.2}) d u)$

Paso 2.3.6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int - \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Paso 2.3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 (- \int \frac{e^{u}}{0.2} d u))$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 \int \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Paso 2.3.9

Dado que $\frac{1}{0.2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.2}$ fuera de la integral.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 (\frac{1}{0.2} \int e^{u} d u))$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Combina $\frac{1}{0.2}$ y $- 5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + \frac{- 5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$

Paso 2.3.12

Reescribe $- 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$ como $- 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 0.2 t$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$P = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + K$