Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $\sqrt{3}$ por $y$ en $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Paso 5

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Paso 5.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de la tangente.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica $| \sec (0) |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 5.3.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 5.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Paso 5.5

Divide $3.14159265$ por $3$ .

$1 = 1.04719755$

Paso 5.6

Como $1 \neq 1.04719755$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 5.7

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Paso 5.8

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Simplifica $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1.1

Divide $3.14159265$ por $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Paso 5.8.1.2

Suma $3.14159265$ y $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Paso 5.8.2

Como $1 \neq 4.1887902$ , no hay soluciones.

$No hay solución$