Cálculo Ejemplos

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{10 + 2 t} Q = 4$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{10 + 2 t} d t}$

Paso 1.2

Integra $\frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $2$ y $10 + 2 t$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{10 + 2 t} d t}$

Paso 1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 t} d t}$

Paso 1.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 (t)} d t}$

Paso 1.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (5) + 2 (t)$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Paso 1.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Paso 1.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$e^{\int \frac{1}{5 + t} d t}$

Paso 1.2.2

Sea $u = 5 + t$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.2.2.1

Deja $u = 5 + t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Diferencia $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

Paso 1.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.2.2.1.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 1.2.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 1.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 1.2.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 1.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 + t$ .

$e^{\ln (| 5 + t |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (5 + t)}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$5 + t$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $5 + t$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $5 + t$ .

$(5 + t) \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.2

Factoriza $2$ de $10 + 2 t$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 \cdot 5 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 5 + 2 t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{1}{5 + t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{1}{5 + t}$ y $Q$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.5

Cancela el factor común de $5 + t$ .

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Paso 2.2.5.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = (5 + t) \cdot 4$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 5 \cdot 4 + t \cdot 4$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + t \cdot 4$

Paso 2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + 4 t$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [(5 + t) Q] = 20 + 4 t$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [(5 + t) Q] d t = \int 20 + 4 t d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$(5 + t) Q = \int 20 + 4 t d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$(5 + t) Q = \int 20 d t + \int 4 t d t$

Paso 6.2

Aplica la regla de la constante.

$(5 + t) Q = 20 t + C + \int 4 t d t$

Paso 6.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 \int t d t$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Simplifica.

$(5 + t) Q = 20 t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Paso 6.5.2

Simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{4}{2} t^{2} + C$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C$

Paso 6.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C$

Paso 6.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Paso 6.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2}{1} t^{2} + C$

Paso 6.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ por $5 + t$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ por $5 + t$ .

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $5 + t$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Paso 7.2.1.2

Divide $Q$ por $1$ .

$Q = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2} + C}{5 + t}$