Cálculo Ejemplos

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

Paso 1.1.2

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ por $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

Paso 1.2.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y - 3 y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2} - 3$ y $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Paso 2.3.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 2.3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.8.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.9

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.9.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.9.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.9.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 2.3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Paso 2.3.12

Reescribe $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ como $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Paso 2.3.14

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Paso 3.3.2

Simplifica $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

Paso 3.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $2 e^{- x}$ de $3 e^{- x}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Paso 3.3.2.2.2

Reordena los factores en $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ como $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$