Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = x \sin (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reescribe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ como $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Paso 3.4.4

Factoriza $2$ de $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Paso 3.4.5

Factoriza $2$ de $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Paso 4

Como $y$ es negativa en la condición inicial $(0, - 1)$ , solo considera $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $x$ y $- 1$ por $y$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

Paso 5

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ .

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ como ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Simplifica ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1.1

Suma $0$ y $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 K$ .

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $- 2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.5

Multiplica ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.7

Evalúa el exponente.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.8

Multiplica los exponentes en ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.8.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.8.2.1

Cancela el factor común.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.8.2.2

Reescribe la expresión.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.2.1.9

Simplifica.

$2 K = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 K = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 K = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 K = 1$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

Paso 6

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $K$ en $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $K$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$