Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.5

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.6

Combina $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7

Multiplica $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 1.7.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.9

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.10

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.10.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.10.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Paso 1.10.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Paso 1.10.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Paso 1.11

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Paso 1.12

Combina $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Paso 1.13

Simplifica cada término.

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Paso 1.13.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Paso 1.13.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Paso 1.14

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.15

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

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Paso 1.15.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.15.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.16

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

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Paso 1.16.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.16.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.17

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y}{x}$ .

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Paso 1.17.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.17.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.18

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

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Paso 1.18.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Paso 1.18.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $V$ de $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $V$ de $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $V$ de $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $V$ de $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.1

Factoriza $V$ de $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.1.1

Factoriza $V$ de $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.1.2

Factoriza $V$ de $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.6

Resta $2 V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Multiplica $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Paso 6.1.1.3.3.7

Reordena los factores en $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común de $1 + 2 V$ .

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $1 + 2 V$ de $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $V (V + 1)$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Paso 6.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $V + 1$ .

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Divide $1 + 2 V$ por $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.5

Reordena $1$ y $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.2.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.6.1.2

Divide $A (V + 1)$ por $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.6.4

Cancela el factor común de $V + 1$ .

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Paso 6.2.2.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.1.6.4.2

Divide $(B) (V)$ por $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Paso 6.2.2.1.1.7

Mueve $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Paso 6.2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $V$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 6.2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $V$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 6.2.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Paso 6.2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Paso 6.2.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Paso 6.2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Paso 6.2.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $2 = 1 + B$ .

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Paso 6.2.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Paso 6.2.2.1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.2.1.3.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Paso 6.2.2.1.3.3.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Paso 6.2.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = 1$

Paso 6.2.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = 1$

Paso 6.2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Paso 6.2.2.1.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

La integral de $\frac{1}{V}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Sea $u = V + 1$ . Entonces $d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.4.1

Deja $u = V + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.4.1.1

Diferencia $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Paso 6.2.2.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $V + 1$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Simplifica.

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Paso 6.2.2.6.1

Simplifica.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.6.2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 8.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.3

Combina $y$ y $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.5

Multiplica $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 8.3.5.1

Multiplica $\frac{y (y + x)}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Paso 8.3.6

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Paso 8.5

Combinar.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Paso 8.6

Multiplica $| y (y + x) |$ por $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$