Cálculo Ejemplos

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y - y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} + x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 1 = 2 x + 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x^{2} + x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x^{2} + x$ por $N$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.2.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.2.6

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

Paso 4.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Paso 4.3.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

Paso 4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

Paso 5.4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 5.4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 5.4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.5.1.2

Divide $A (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.5.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.5.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.4.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 5.4.1.5.4.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Paso 5.4.1.6

Mueve $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Paso 5.4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 5.4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 5.4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 5.4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 5.4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 5.4.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Paso 5.4.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 5.4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Paso 5.4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Paso 5.4.3.3

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 5.4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Paso 5.4.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 5.4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1$

Paso 5.4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1$

Paso 5.4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 5.5

Divide la única integral en varias integrales.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Paso 5.6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Paso 5.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Paso 5.8

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.8.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.8.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 5.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.8.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 5.9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

Paso 5.10

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

Paso 5.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

Paso 5.12

Simplifica cada término.

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Paso 5.12.1

Simplifica $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

Paso 5.12.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

Paso 5.12.3

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

Paso 5.12.4

Aplica la regla del producto a $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.12.5.1

Elimina el valor absoluto en ${| x + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.2

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.3

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.12.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.12.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.12.5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.12.5.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 5.12.5.5.3

Reescribe el polinomio.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.5.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Paso 5.12.6

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x y - y$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $2 x y - y$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y$ de $2 x y - y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y$ de $y (2 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x^{2} + x$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x^{2} + x$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 6.6.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.2.1

Mueve ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

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Paso 6.6.2.2.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $x$ de $x {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

Paso 8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ y $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

Paso 8.2.2

Reescribe $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ como $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Paso 8.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

Paso 8.2.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ y $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.11

Multiplica $2$ por $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.12

Multiplica $3$ por $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.13

Suma $3 x^{2} + 6 x + 3$ y $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.3.15

Combina $y$ y $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4

Combina los términos.

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Paso 11.5.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.4

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.9

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.10

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.11

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.13

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.15

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.16

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.17

Mueve $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.18

Resta $x^{3} y$ de $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.19

Mueve $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.20

Resta $3 x^{2} y$ de $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.21

Mueve $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.22

Resta $3 x y$ de $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.4.23

Suma $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ y $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.6

Factoriza $y$ de $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ .

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Paso 11.5.6.1

Factoriza $y$ de $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.6.2

Factoriza $y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.6.3

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.6.4

Factoriza $y$ de $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.6.5

Factoriza $y$ de $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.7

Para escribir $\frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.9

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.9.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.9.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.9.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.9.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.9.3

Simplifica cada término.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 11.5.10

Reordena los factores en $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2

Simplifica $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 12.1.2.1

Reescribe.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 12.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2.2.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 12.1.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2.2.2.2

Reordena.

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Paso 12.1.2.2.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2.2.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2.2.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

Paso 12.1.2.2.4

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

Paso 12.1.2.3

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 12.1.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 12.1.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 12.1.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.2.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 12.1.2.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 12.1.2.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 12.1.2.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 12.1.2.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 12.1.2.5

Expande $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 12.1.2.6.1

Combina los términos opuestos en $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

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Paso 12.1.2.6.1.1

Reordena los factores en los términos $2 y x \cdot 1$ y $- y (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.1.2

Resta $2 x y$ de $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.1.3

Suma $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.2.6.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.2.6.2.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 12.1.2.6.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.2.6.2.2.1

Mueve $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

Paso 12.1.2.6.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

Paso 12.1.2.6.3

Resta $y x^{2}$ de $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

Paso 12.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.3.1

Resta $2 y x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

Paso 12.1.3.2

Resta $3 y x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

Paso 12.1.3.3

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

Paso 12.1.3.4

Combina los términos opuestos en $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

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Paso 12.1.3.4.1

Resta $2 y x^{3}$ de $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

Paso 12.1.3.4.2

Suma $3 y x^{2} - y$ y $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

Paso 12.1.3.4.3

Resta $3 y x^{2}$ de $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

Paso 12.1.3.4.4

Suma $- y$ y $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

Paso 12.1.3.4.5

Suma $- y$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

Paso 12.1.4

Divide cada término en $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 12.1.4.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Paso 12.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 12.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Paso 12.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

Paso 12.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.4.3.1

Divide $0$ por $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$