Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \sqrt{x} + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 1 + \sqrt{x}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 1 + \sqrt{x}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 1 + \sqrt{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.4.2

Simplifica.

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Paso 7.4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Paso 7.4.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Paso 7.4.2.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Paso 7.4.2.3.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 7.4.2.3.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 7.4.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 7.4.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Paso 7.4.2.3.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 7.4.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 7.6

Simplifica.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 8.1.2

Suma $2 x^{- \frac{1}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} = C$

Paso 8.1.3

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Paso 8.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.4.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Paso 8.1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Paso 8.1.4.3

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = - \frac{1}{x}$

Paso 8.2.2

Resta $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Simplifica.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.1.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.4

Mueve $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = - x + C x^{2} - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.4.2.1.5

Reordena $- x$ y $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - x - 2 x^{\frac{3}{2}}$