Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $y \cot (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Paso 2.2

Integra $- 1 \cot (x)$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sin^{- 1} (x)$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Paso 2.7

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\csc (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Paso 3.3

Multiplica $\csc (x) \csc (x)$ .

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Paso 3.3.1

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Paso 3.3.2

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Paso 3.4

Reordena los factores en $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ por $\csc (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ por $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\csc (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Separa las fracciones.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.5

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.6

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 8.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.7

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.8

Separa las fracciones.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Paso 8.3.1.9

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 8.3.1.10

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Paso 8.3.1.11

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Paso 8.3.1.12

Divide $C$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$