Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt[3]{x}$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \sqrt[3]{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sqrt[3]{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt[3]{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + K$ .

$2 = \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + K = 2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + K = 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{3}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - \frac{3}{4}$

Paso 4.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 3}{4}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$K = \frac{8 - 3}{4}$

Paso 4.3.5.2

Resta $3$ de $8$ .

$K = \frac{5}{4}$

Paso 5

Sustituye $\frac{5}{4}$ por $K$ en $y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{5}{4}$ por $K$ .

$y = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{5}{4}$

Paso 5.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{\frac{4}{3}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{5}{4}$