Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 3 \int u^{2} d u$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \sin^{3} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \sin^{3} (x) + K$