Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $3 y - y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $3 y - y^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 - y^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 + y (- y)}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 3 + y (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 y \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.4

Combina $3$ y $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.5.2

Cancela el factor común.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Paso 1.2.5.3

Reescribe la expresión.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y \frac{\cos (x)}{3 - y}$

Paso 1.2.6

Combina $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ y $y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - \frac{\cos (x) y}{3 - y}$

Paso 1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x) - \cos (x) y}{3 - y}$

Paso 1.2.8

Factoriza $\cos (x)$ de $3 \cos (x) - \cos (x) y$ .

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Paso 1.2.8.1

Factoriza $\cos (x)$ de $3 \cos (x)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 - \cos (x) y}{3 - y}$

Paso 1.2.8.2

Factoriza $\cos (x)$ de $- \cos (x) y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)}{3 - y}$

Paso 1.2.8.3

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.2.9

Cancela el factor común de $3 - y$ .

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Paso 1.2.9.1

Cancela el factor común.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.2.9.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(3 y - y^{2}) d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 y - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Simplifica.

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.6.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} = \sin (x) + K$