Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = \frac{(s^{3} - s) (4 t^{3} - 6 t)}{(t^{4} - 3 t^{2}) (3 s^{2} - 1)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d s}{d t} = \frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $s$ de $s^{3} - s$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Factoriza $s$ de $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.1.1.2

Factoriza $s$ de $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.1.1.3

Factoriza $s$ de $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1^{2})} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = s$ y $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $s$ de $s^{3} - s$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Factoriza $s$ de $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.2.1.2

Factoriza $s$ de $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.2.1.3

Factoriza $s$ de $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1^{2})}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = s$ y $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.3

Factoriza $2 t$ de $4 t^{3} - 6 t$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $2 t$ de $4 t^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $2 t$ de $- 6 t$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.3.3

Factoriza $2 t$ de $2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.4

Factoriza $t^{2}$ de $t^{4} - 3 t^{2}$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{4}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} - 3 t^{2}})$

Paso 1.3.4.2

Factoriza $t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3})$

Paso 1.3.4.3

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $t$ y $t^{2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $t$ de $2 t (2 t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2} (t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)})$

Paso 1.3.6

Multiplica $\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1}$ por $\frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Paso 1.3.7

Cancela el factor común de $3 s^{2} - 1$ .

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Paso 1.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Paso 1.3.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Paso 1.3.8

Cancela el factor común de $s (s + 1) (s - 1)$ .

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Paso 1.3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Paso 1.3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = s^{3} - s$ . Entonces $d u_{1} = (3 s^{2} - 1) d s$ , de modo que $\frac{1}{3 s^{2} - 1} d u_{1} = d s$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = s^{3} - s$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $s^{3} - s$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3} - s]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $s^{3} - s$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 s^{2} + \frac{d}{d s} [- s]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d s} [- s]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- s$ con respecto a $s$ es $- \frac{d}{d s} [s]$ .

$3 s^{2} - \frac{d}{d s} [s]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 s^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 s^{2} - 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $s^{3} - s$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{2 t^{2} - 3}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 2.3.2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.3.2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.3.2.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $t^{2} - 3$ .

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Paso 2.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.4.2

Divide $2 t^{2} - 3$ por $1$ .

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.5.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 2.3.2.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.5.1.2

Divide $A (t^{2} - 3)$ por $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.5.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.5.4

Cancela el factor común de $t^{2} - 3$ .

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Paso 2.3.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.1.5.4.2

Divide $(B t + C) (t)$ por $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Paso 2.3.2.1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Paso 2.3.2.1.5.6

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.5.6.1

Mueve $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Paso 2.3.2.1.5.6.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Paso 2.3.2.1.6

Mueve $- 3 A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Paso 2.3.2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 2.3.2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 2.3.2.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $t$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = - 3 A$

Paso 2.3.2.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

Paso 2.3.2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 3 = - 3 A$

Paso 2.3.2.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.3.2.1

Reescribe la ecuación como $- 3 A = - 3$ .

$- 3 A = - 3$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 2.3.2.3.2.2

Divide cada término en $- 3 A = - 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- 3 A = - 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 2.3.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.3.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 2.3.2.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 2.3.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 3$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 2.3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.3.2.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.3.2.3.4

Resuelve $B$ en $2 = 1 + B$ .

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Paso 2.3.2.3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.3.2.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.3.2.3.4.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.3.2.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Paso 2.3.2.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Paso 2.3.2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{t} + \frac{1 t + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica.

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Paso 2.3.2.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{t} + \frac{(1) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.2.1

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{1}{t} + \frac{t + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 2.3.2.5.2.2

Suma $t$ y $0$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} + \frac{t}{t^{2} - 3} d t$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\int \frac{1}{t} d t + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Paso 2.3.5

Sea $u_{2} = t^{2} - 3$ . Entonces $d u_{2} = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u_{2} = t^{2} - 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 2.3.5.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t + 0$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Paso 2.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C_{4}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{2} - 3$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| t^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| t^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.11.2

Para escribir $\ln (| t |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.11.3

Combina $\ln (| t |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\frac{\ln (| t |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.11.5.1

Cancela el factor común.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.5.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Paso 2.3.11.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| s^{3} - s |) = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C$