Cálculo Ejemplos

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Multiplica $\frac{d y}{d x} y$ por $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

Paso 1.1.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x} y$ de $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x} y$ de $\frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x} y$ de $\frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x} y$ de $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ por $y (1 + x)$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ por $y (1 + x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2.2

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 1.1.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.2

Para escribir $- \frac{x}{1 + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + x) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.4.3.3.1

Multiplica $\frac{x}{1 + x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.3.2

Reordena los factores de $(1 + x) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.5

Factoriza $x$ de $- x y - x$ .

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Paso 1.1.4.3.5.1

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.5.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.5.3

Factoriza $x$ de $x (- y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.6

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.9.1

Reescribe $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{x}{1 + x}$ por $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{y + 1}$ al numerador.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Paso 1.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Paso 1.4.3.3

Factoriza $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Paso 1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Paso 1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide $y$ por $y + 1$ .

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Paso 2.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Paso 2.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Paso 2.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Paso 2.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Paso 2.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.2.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.5

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Paso 2.3.2

Reordena $1$ y $x$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.3.3

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 2.3.3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 2.3.3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 2.3.3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 2.3.3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.3.3.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 2.3.7

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.7.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.7.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Paso 2.3.11.2

Multiplica $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Paso 2.3.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Paso 2.3.11.2.2

Multiplica $\ln (| x + 1 |)$ por $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$