Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{x (x^{2} - y^{2})}{y {(x - y)}^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{x}{y}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x (x^{2} - y^{2})}{y {(x - y)}^{2}}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x (x^{2} - y^{2})}{y {(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Reordena $\frac{x}{y}$ y $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}} \cdot \frac{x}{y}$

Paso 1.2

Divide $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide la fracción $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{d x}{d y} = (\frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d x}{d y} = (\frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ como ${(\frac{x}{x - y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x}{x - y})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{x}{x - y}$ por $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{x}{x - y}$ por $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{(x - y) \frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y^{1}} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.7

Simplifica.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.8

Simplifica.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.9

Simplifica.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.10

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.11

Simplifica cada término.

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Paso 1.11.1

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.11.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.11.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Paso 1.12

Reescribe $\frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ como ${(\frac{y}{x - y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y}{x - y})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.13

Multiplica $\frac{y}{x - y}$ por $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y}{x - y} \cdot \frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.14

Multiplica $\frac{y}{x - y}$ por $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{(x - y) \frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.15

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y^{1}} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.16

Simplifica.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.17

Simplifica.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.18

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.18.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y \cdot 1}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y \cdot 1}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.19

Simplifica cada término.

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Paso 1.19.1

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.19.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.19.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 1.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} - 1})}^{2}) \frac{x}{y}$

Paso 2

Sea $V = \frac{x}{y}$ . Sustituye $V$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{x}{y}$ en $x$ .

$x = V y$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $x = V y$ con respecto a $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Paso 5

Sustituye $y \frac{d V}{d y} + V$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d y}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica $({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe.

$y \frac{d V}{d y} + V = 0 + 0 + ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Paso 6.1.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y \frac{d V}{d y} + V = ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Paso 6.1.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{V}{V - 1}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = (\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Paso 6.1.1.1.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{V - 1}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = (\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1^{2}}{{(V - 1)}^{2}}) V$

Paso 6.1.1.1.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y \frac{d V}{d y} + V = (\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}}) V$

Paso 6.1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} V - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Paso 6.1.1.1.5

Multiplica $\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} V$ .

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Paso 6.1.1.1.5.1

Combina $\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}}$ y $V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2} V}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Paso 6.1.1.1.5.2

Multiplica $V^{2}$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.5.2.1

Multiplica $V^{2}$ por $V$ .

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Paso 6.1.1.1.5.2.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Paso 6.1.1.1.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2 + 1}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Paso 6.1.1.1.5.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Paso 6.1.1.1.6

Combina $V$ y $\frac{1}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$y \frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $y \frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} - V$ por $y$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $y \frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} - V$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3.1.2

Combinar.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3} \cdot 1}{{(V - 1)}^{2} y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3.1.3

Multiplica $V^{3}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3.1.5

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{V}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} + \frac{- V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Reordena los factores en $\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2

Factoriza.

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Paso 6.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3} - V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.2.2.1.1

Factoriza $V$ de $V^{3} - V$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1.1

Factoriza $V$ de $V^{3}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V \cdot V^{2} - V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.1.1.2

Factoriza $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V \cdot V^{2} + V \cdot - 1}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.1.1.3

Factoriza $V$ de $V \cdot V^{2} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V^{2} - 1)}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V^{2} - 1^{2})}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.1.3

Factoriza.

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Paso 6.1.2.2.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = V$ y $b = 1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V ((V + 1) (V - 1))}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1) (V - 1)}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común de $V - 1$ y ${(V - 1)}^{2}$ .

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Paso 6.1.2.2.2.1

Factoriza $V - 1$ de $V (V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{(V - 1) (V (V + 1))}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.2.2.2.1

Factoriza $V - 1$ de $y {(V - 1)}^{2}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{(V - 1) (V (V + 1))}{(V - 1) (y (V - 1))} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d V}{d y} = \frac{(V - 1) (V (V + 1))}{(V - 1) (y (V - 1))} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1)}{y (V - 1)} - \frac{V}{y}$

Paso 6.1.2.3

Para escribir $- \frac{V}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1)}{y (V - 1)} - \frac{V}{y} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

Paso 6.1.2.4

Multiplica $\frac{V}{y}$ por $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1)}{y (V - 1)} - \frac{V (V - 1)}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1) - V (V - 1)}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.2.6.1

Factoriza $V$ de $V (V + 1) - V (V - 1)$ .

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Paso 6.1.2.6.1.1

Factoriza $V$ de $- V (V - 1)$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1) + V (- (V - 1))}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6.1.2

Factoriza $V$ de $V (V + 1) + V (- (V - 1))$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1 - (V - 1))}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1 - V - - 1)}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1 - V + 1)}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6.4

Resta $V$ de $V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (0 + 1 + 1)}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (1 + 1)}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V \cdot 2}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{2 \cdot V}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.2.8

Multiplica $2$ por $V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{2 V}{y (V - 1)}$

Paso 6.1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d y} = \frac{2 V}{V - 1} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 6.1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{V - 1}{2 V}$ .

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} (\frac{2 V}{V - 1} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 6.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $\frac{2 V}{V - 1}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{(V - 1) y}$

Paso 6.1.5.2

Cancela el factor común de $V - 1$ .

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Paso 6.1.5.2.1

Factoriza $V - 1$ de $(V - 1) y$ .

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{(V - 1) (y)}$

Paso 6.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{(V - 1) y}$

Paso 6.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Paso 6.1.5.3

Cancela el factor común de $2 V$ .

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Paso 6.1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Paso 6.1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 6.1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{V - 1}{2 V} d V = \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V - 1}{2 V} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $V$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{V - 1}{V} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2.2

Divide $V - 1$ por $V$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$V$

$0$

$V$

$1$

Paso 6.2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $V$ por el término de mayor orden en el divisor $V$ .

					$1$
	$V$	+	$0$		$V$	-	$1$

Paso 6.2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$V$	+	$0$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$0$

Paso 6.2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $V + 0$ .

				$1$
$V$	+	$0$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$0$

Paso 6.2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$V$	+	$0$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$0$
					-	$1$

Paso 6.2.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{V} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \frac{1}{V} d V) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \frac{1}{V} d V) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $V$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{1}{V} d V) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2.6

La integral de $\frac{1}{V}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\ln (| V |) + C_{2})) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} (V - \ln (| V |)) + C_{3} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (V - \ln (| V |)) + C_{3} = \ln (| y |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} (V - \ln (| V |)) = \ln (| y |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{x}{y}$ por $V$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{y} - \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$

Paso 8

Resuelve $\frac{1}{2} (\frac{x}{y} - \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$ en $x$ .

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (\frac{x}{y} - \ln (| \frac{x}{y} |))$ .

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Paso 8.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{1}{2} (- \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$

Paso 8.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{2 y} + \frac{1}{2} (- \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$

Paso 8.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$\frac{x}{2 y} - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} = \ln (| y |) + C$

Paso 8.2

Multiplica cada término en $\frac{x}{2 y} - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} = \ln (| y |) + C$ por $2 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x}{2 y} - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} = \ln (| y |) + C$ por $2 y$ .

$\frac{x}{2 y} (2 y) - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{x}{2 y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$2 \frac{x}{2 (y)} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2 y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2}$ al numerador.

$x + \frac{- \ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x + \frac{- \ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 (y)) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$x + \frac{- \ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$x - \ln (| \frac{x}{y} |) y = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x - \ln (| \frac{x}{y} |) y = 2 \ln (| y |) y + C (2 y)$

Paso 8.2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x - \ln (| \frac{x}{y} |) y = 2 \ln (| y |) y + 2 C y$

Paso 8.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| \frac{x}{y} |) y - 2 \ln (| y |) y = - x + 2 C y$

Paso 8.4

Reordena los factores en $- \ln (| \frac{x}{y} |) y - 2 \ln (| y |) y$ .

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 y \ln (| y |) = - x + 2 C y$

Paso 8.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) + y (- \ln ({| y |}^{2})) = - x + 2 C y$

Paso 8.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln ({| y |}^{2}) = - x + 2 C y$

Paso 8.5.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln (y^{2}) = - x + 2 C y$

Paso 8.6

Resta $2 C y$ de ambos lados de la ecuación.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln (y^{2}) - 2 C y = - x$

Paso 8.7

Factoriza $y$ de $- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln (y^{2}) - 2 C y$ .

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Paso 8.7.1

Factoriza $y$ de $- y \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) - y \ln (y^{2}) - 2 C y = - x$

Paso 8.7.2

Factoriza $y$ de $- y \ln (y^{2})$ .

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 1 \ln (y^{2})) - 2 C y = - x$

Paso 8.7.3

Factoriza $y$ de $- 2 C y$ .

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 2 C) = - x$

Paso 8.7.4

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 1 \ln (y^{2}))$ .

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2})) + y (- 2 C) = - x$

Paso 8.7.5

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2})) + y (- 2 C)$ .

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$

Paso 8.8

Reescribe $- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)$ como $- \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$

Paso 8.9

Reescribe $- 1 \ln (y^{2})$ como $- \ln (y^{2})$ .

$y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$

Paso 8.10

Divide cada término en $y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$ por $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C$ y simplifica.

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Paso 8.10.1

Divide cada término en $y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$ por $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C$ .

$\frac{y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C)}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Paso 8.10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.10.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C$ .

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Paso 8.10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C)}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Paso 8.10.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Paso 8.10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Paso 8.10.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$y = - \frac{x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Paso 8.10.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (y^{2})$ .

$y = - \frac{x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Paso 8.10.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2})$ .

$y = - \frac{x}{- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2})) - 2 C}$

Paso 8.10.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 C$ .

$y = - \frac{x}{- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2})) - (2 C)}$

Paso 8.10.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2})) - (2 C)$ .

$y = - \frac{x}{- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)}$

Paso 8.10.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 8.10.3.7.1

Reescribe $- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$ como $- 1 (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)}$

Paso 8.10.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$

Paso 8.10.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$

Paso 8.10.3.7.4

Multiplica $\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$ por $1$ .

$y = \frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$

Paso 8.11

Reescribe la ecuación como $\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} = y$ .

$\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} = y$

Paso 8.12

Multiplica ambos lados por $\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C$ .

$\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C) = y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$

Paso 8.13

Simplifica.

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Paso 8.13.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.13.1.1

Cancela el factor común de $\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C$ .

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Paso 8.13.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C) = y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$

Paso 8.13.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$

Paso 8.13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.13.2.1

Simplifica $y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$ .

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Paso 8.13.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = y \ln (| \frac{x}{y} |) + y \ln (y^{2}) + y (2 C)$

Paso 8.13.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.13.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = y \ln (| \frac{x}{y} |) + y \ln (y^{2}) + 2 y C$

Paso 8.13.2.1.2.2

Mueve $y$ .

$x = y \ln (| \frac{x}{y} |) + y \ln (y^{2}) + 2 C y$

Paso 8.13.2.1.2.3

Mueve $y \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$x = y \ln (y^{2}) + 2 C y + y \ln (| \frac{x}{y} |)$

Paso 8.13.2.1.2.4

Reordena $y \ln (y^{2})$ y $2 C y$ .

$x = 2 C y + y \ln (y^{2}) + y \ln (| \frac{x}{y} |)$

Paso 8.14

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- y \ln (y^{2}) - y \ln (| \frac{x}{y} |) = - x + 2 C y$

Paso 8.15

Resta $2 C y$ de ambos lados de la ecuación.

$- y \ln (y^{2}) - y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C y = - x$

Paso 8.16

Factoriza $y$ de $- y \ln (y^{2}) - y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C y$ .

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Paso 8.16.1

Factoriza $y$ de $- y \ln (y^{2})$ .

$y (- 1 \ln (y^{2})) - y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C y = - x$

Paso 8.16.2

Factoriza $y$ de $- y \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) - 2 C y = - x$

Paso 8.16.3

Factoriza $y$ de $- 2 C y$ .

$y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 2 C) = - x$

Paso 8.16.4

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |))$ .

$y (- 1 \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 2 C) = - x$

Paso 8.16.5

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 2 C)$ .

$y (- 1 \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$

Paso 8.17

Reescribe $- 1 \ln (y^{2})$ como $- \ln (y^{2})$ .

$y (- \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$

Paso 8.18

Reescribe $- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)$ como $- \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$

Paso 8.19

Divide cada término en $y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$ por $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C$ y simplifica.

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Paso 8.19.1

Divide cada término en $y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$ por $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C$ .

$\frac{y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C)}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Paso 8.19.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.19.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C$ .

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Paso 8.19.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C)}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Paso 8.19.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Paso 8.19.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.19.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Paso 8.19.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$y = - \frac{x}{- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |)) - 2 C}$

Paso 8.19.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 C$ .

$y = - \frac{x}{- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |)) - (2 C)}$

Paso 8.19.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |)) - (2 C)$ .

$y = - \frac{x}{- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)}$

Paso 8.19.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 8.19.3.5.1

Reescribe $- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)$ como $- 1 (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)}$

Paso 8.19.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$

Paso 8.19.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$

Paso 8.19.3.5.4

Multiplica $\frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$ por $1$ .

$y = \frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$