Cálculo Ejemplos

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Paso 1

Sea $v = x + y$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $x + y$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $x + y$ .

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Paso 4

Separa las variables.

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Paso 4.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 4.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d v}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1.1.1

Suma $v$ a ambos lados de la ecuación.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Paso 4.1.1.2

Suma $2 v$ y $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Paso 4.1.2

Divide cada término en $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ por $v$ y simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Divide cada término en $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ por $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 4.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Paso 4.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.2.3.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 4.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Paso 4.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3 + \frac{1}{v}$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Paso 4.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Paso 5

Integra ambos lados.

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Paso 5.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Paso 5.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Paso 5.2.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Paso 5.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\frac{v}{3 v + 1}$ por $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Paso 5.2.2

Divide $v$ por $3 v + 1$ .

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Paso 5.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Paso 5.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $v$ por el término de mayor orden en el divisor $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Paso 5.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $v + \frac{1}{3}$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Paso 5.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Paso 5.2.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Paso 5.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Paso 5.2.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Paso 5.2.7

Sea $u = 3 v + 1$ . Entonces $d u = 3 d v$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.7.1

Deja $u = 3 v + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 5.2.7.1.1

Diferencia $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Paso 5.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 v + 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 5.2.7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Paso 5.2.7.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $3 v$ con respecto a $v$ es $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 5.2.7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 5.2.7.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Paso 5.2.7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.2.7.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 5.2.7.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 5.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Paso 5.2.8

Simplifica.

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Paso 5.2.8.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Paso 5.2.9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Paso 5.2.10

Simplifica.

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Paso 5.2.10.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 5.2.10.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 5.2.11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 5.2.12

Simplifica.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 5.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Paso 6

Resuelve $v$

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Paso 6.1.2

Multiplica $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

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Paso 6.1.2.1

Reordena $\ln (| u |)$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Paso 6.1.2.2

Simplifica $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ al mover $\frac{1}{9}$ dentro del algoritmo.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Paso 6.2

Suma $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Paso 6.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Paso 6.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Paso 6.5

Simplifica $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

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Paso 6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1.1

Simplifica $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Paso 6.5.1.2

Multiplica los exponentes en ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

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Paso 6.5.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Paso 6.5.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Paso 6.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Paso 6.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.5.2

Reordena $3 x$ y $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Paso 7

Simplifica la constante de integración.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $v$ con $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Paso 9.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$