Cálculo Ejemplos

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\sin (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} \sin (x)$ con respecto a $y$ es $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Paso 1.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Resta $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Paso 2.2.3

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Paso 2.2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Paso 2.2.6

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Paso 5.3

Dado que $3 x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3 x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Paso 5.5

Dado que $2 \cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 \cos (x)$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Paso 5.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3.3

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y^{3}$ con respecto a $x$ es $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3.5

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\cos (x) y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.3.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.5.2

Combina los términos.

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Paso 8.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.5.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 8.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Paso 9.1.2

Resta $y^{2} \sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- y^{3}$ y $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Paso 9.1.3.2

Suma $x + y^{2} \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Paso 9.1.3.3

Resta $y^{2} \sin (x)$ de $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$