Cálculo Ejemplos

$\cos (x + y) d x + (3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \cos (x + y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x + y)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = x + y$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.3.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Paso 2.2.2

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Paso 2.2.3

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y)$

Paso 2.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \sin (x + y)$

Paso 2.4.2

Resta $\sin (x + y)$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x + y)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- \sin (x + y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- \sin (x + y)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x + y) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = \cos (x + y)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Sea $u = x + y$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1.1

Deja $u = x + y$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1.1

Diferencia $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 5.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 5.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 5.1.1.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f (x, y) = \int \cos (u) d u$

Paso 5.2

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$f (x, y) = \sin (u) + C$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y) + g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x + y) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = x + y$ .

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Paso 8.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + y) (0 + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.5

Suma $0$ y $1$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.3.6

Multiplica $\cos (x + y)$ por $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$\cos (x + y) + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x + y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $\cos (x + y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $\cos (x + y)$ de $\cos (x + y)$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $3 y^{2} + 2 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $3 y^{2} + 2 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

Paso 10.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

Paso 10.6

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

Paso 10.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.9

Simplifica.

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Paso 10.9.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.9.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.9.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.9.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$g (y) = y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.9.4

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.9.5.1

Cancela el factor común.

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.9.5.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = y^{3} + 1 y^{2} + C$

Paso 10.9.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{3} + y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + y^{3} + y^{2} + C$