Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y \sin^{3} (t)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Factoriza $\sin^{2} (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Paso 2.3.2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Paso 2.3.3

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 2.3.3.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos^{3} (t)$ .

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ como $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $y$ en $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ .

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

Paso 6.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

Paso 6.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

Paso 6.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

Paso 6.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Paso 6.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Paso 6.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

Paso 6.2.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

Paso 6.3

Divide cada término en $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ por $e^{- \frac{2}{3}}$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ por $e^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $e^{- \frac{2}{3}}$ de $C e^{\frac{- 2}{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $C e^{\frac{0}{3}}$ por $1$ .

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 6.3.2.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.2.4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.2.4.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Mueve $e^{- \frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e^{\frac{2}{3}}$

Paso 7

Sustituye $e^{\frac{2}{3}}$ por $C$ en $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $e^{\frac{2}{3}}$ por $C$ .

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Paso 7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$