Cálculo Ejemplos

Solve $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ and find the particular solution when $y (1) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (x + K)$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \tan (x + K)$ .

$1 = \tan (1 + K)$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\tan (1 + K) = 1$ .

$\tan (1 + K) = 1$

Paso 5.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $K$ del interior de la tangente.

$1 + K = \arctan (1)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$1 + K = \frac{π}{4}$

Paso 5.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{π}{4} - 1$

Paso 5.5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$1 + K = π + \frac{π}{4}$

Paso 5.6

Resuelve $K$

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Paso 5.6.1

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.6.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$1 + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.6.1.2

Combina fracciones.

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Paso 5.6.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$1 + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 5.6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$1 + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 5.6.1.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$1 + K = \frac{5 π}{4}$

Paso 5.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{5 π}{4} - 1$

Paso 5.7

Obtén el período de $\tan (1 + K)$ .

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Paso 5.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.7.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.8

El período de la función $\tan (1 + K)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n, \frac{5 π}{4} - 1 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.9

Consolida las respuestas.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n$

Paso 6

Sustituye $\frac{π}{4} - 1 + π n$ por $K$ en $y = \tan (x + K)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $\frac{π}{4} - 1 + π n$ por $K$ .

$y = \tan (x + \frac{π}{4} - 1 + π n)$