Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2

Simplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Paso 2.3.2.1

Reorganiza los términos.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2.2

Aplica la identidad pitagórica.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.3

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Paso 2.3.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 2.3.4

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.3.6

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 2.3.7

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Paso 2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Paso 2.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.9.1

Suma $1$ y $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 2.3.9.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 2.3.10

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.3.11

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.3.11.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.3.11.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.3.12

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Paso 2.3.13

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Paso 2.3.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Paso 2.3.15

Suma $1$ y $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 2.3.16

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 2.3.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Paso 2.3.18

Suma $2$ y $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Paso 2.3.19

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 2.3.20

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 2.3.21

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 2.3.22

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.3.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 2.3.22.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 2.3.23

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

Paso 2.3.24

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

Paso 2.3.25

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

Paso 2.3.26

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$