Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Suma $2 y \cot (2 x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Paso 2.2

Integra $2 \cot (2 x)$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Paso 2.2.2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Paso 2.2.3

Combina $\cot (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.5.3

Multiplica $\int \cot (u) d u$ por $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Paso 2.2.6

La integral de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sin (2 x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\sin (2 x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

Paso 3.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Mueve los paréntesis.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Paso 3.2.2

Reordena $\sin (2 x)$ y $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

Paso 3.2.3

Agrega paréntesis.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Paso 3.2.4

Reescribe $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Paso 3.2.5

Cancela los factores comunes.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

Paso 3.3

Reordena los factores en $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 7.2.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 7.3

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Paso 7.5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 7.6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Paso 7.9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Paso 7.10

Simplifica.

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Paso 7.10.1

Reescribe $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ como $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 7.10.2

Simplifica.

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Paso 7.10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 7.10.2.2

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 7.12

Reordena los factores en $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Paso 8.1.2

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $\sin (2 x)$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3.1.3

Combina $\csc (2 x)$ y $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3.1.4

Cancela el factor común de $\sin (2 x)$ .

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Paso 8.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3.1.4.2

Divide $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3.1.5

Separa las fracciones.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Paso 8.2.3.1.6

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Paso 8.2.3.1.7

Divide $C$ por $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

Paso 8.2.3.2

Reordena los factores en $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ .

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$