Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(x^{2} - 1) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

Paso 1.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.8

Elimina los paréntesis.

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Paso 1.9

Mueve $y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6

Divide cada término en $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x^{2} - 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3.1.4

Combinar.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Paso 6.3.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 6.3.1.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$