Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{1 - y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (2 x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}) (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1} {\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ como $(1 + y) (1 - y)$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ como ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{{((1 + y) (1 - y))}^{1}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.4.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.5

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)} (x \sqrt{1^{2} - y^{2}})$

Paso 1.2.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)} (x \sqrt{(1 + y) (1 - y)})$

Paso 1.2.8

Multiplica $\frac{2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)} (x \sqrt{(1 + y) (1 - y)})$ .

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Paso 1.2.8.1

Combina $x$ y $\frac{2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)})}{(1 + y) (1 - y)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.8.2

Combina $\frac{x (2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)})}{(1 + y) (1 - y)}$ y $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(1 + y) (1 - y)}) \sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.8.3

Eleva $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.8.4

Eleva $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1} {\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1}))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{1 + 1})}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.8.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2})}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.1

Reescribe ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ como $(1 + y) (1 - y)$ .

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Paso 1.2.9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ como ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.9.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((1 + y) (1 - y))}^{1}}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.1.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((1 + y) (1 - y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.2

Expande $(1 + y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 (1 - y) + y (1 - y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.9.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y + y + y (- y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y + y - y \cdot y)}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.9.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y + y - (y \cdot y))}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y + y - y^{2})}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.2

Suma $- y$ y $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 + 0 - y^{2})}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y^{2})}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1^{2} - y^{2})}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.9.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.10

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.2.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)}$

Paso 1.2.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y)}{1 - y}$

Paso 1.2.11

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.2.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (1 - y)}{1 - y}$

Paso 1.2.11.2

Divide $x \cdot 2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

Paso 1.2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ con respecto a $y$ es $\arcsin (y)$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\arcsin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arcsin (y) = x^{2} + K$

Paso 3

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$y = \sin (x^{2} + K)$