Cálculo Ejemplos

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Paso 1

Sea $v = y^{2}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

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Paso 3.1

Factoriza $2 y$ de $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Paso 4

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Paso 5

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x v$ .

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Paso 5.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Paso 5.4

Sustituye $\frac{d v}{d x}$ por $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Paso 5.5

Reordena $v$ y $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Paso 5.6

Multiplica $v$ por $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Paso 6

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Paso 7

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Paso 8

Integra el lado izquierdo.

$x v = \int 2 x d x$

Paso 9

Integra el lado derecho.

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Paso 9.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x v = 2 \int x d x$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x v = 1 x^{2} + C$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Paso 10

Divide cada término en $x v = x^{2} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $x v = x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 10.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 10.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 10.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 10.3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 10.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 10.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 10.3.1.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $v$ con $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Paso 12

Resuelve $y$

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Paso 12.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Paso 12.2

Simplifica $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

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Paso 12.2.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Paso 12.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Paso 12.2.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Paso 12.2.4

Reescribe $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ como $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Paso 12.2.5

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 12.2.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 12.2.6.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Paso 12.2.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Paso 12.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 12.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 12.2.6.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 12.2.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.2.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.2.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.2.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Paso 12.2.6.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Paso 12.2.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Paso 12.2.8

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Paso 12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Paso 12.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Paso 12.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$