Cálculo Ejemplos

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + x) y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x y}$ al numerador.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Paso 3.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Paso 3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.2.7

Reordena los términos.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Paso 4.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Paso 4.3.4

Aplica la regla de la constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Paso 4.3.6

Reordena los términos.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$