Cálculo Ejemplos

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 1.4.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 1.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 1.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Paso 1.4.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Paso 1.4.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Paso 1.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Paso 1.4.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Paso 1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Paso 1.4.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Paso 1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Paso 1.5.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Paso 1.5.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Paso 2.2

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $8 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $8 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $8 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $M$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Paso 4.3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Paso 4.3.2.2

Combinar.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{2} (8 x y)$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.1.2

Factoriza $y^{3}$ de $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.1.3

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $y^{- 1}$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.3.2

Multiplica $y$ por $y^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.4

Simplifica $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.8

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.8.2

Factoriza $y$ de $4 x y$ .

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.9

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.10

Multiplica $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.10.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.10.3

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.10.4

Multiplica $y$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.10.4.1

Multiplica $y$ por $y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.10.4.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.10.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.10.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.11

Resta $4 x$ de $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.12

Factoriza $2 x$ de $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.12.1

Factoriza $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.12.2

Factoriza $2 x$ de $\frac{2 x}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.12.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.13

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.15

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.15.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.15.2

Combina $2$ y $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.15.3

Combina $x$ y $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.16

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.17

Reduce la expresión $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.17.1

Factoriza $y^{3}$ de $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.17.2

Factoriza $y^{3}$ de $y^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.17.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.17.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.5.18

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Paso 4.3.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1

Factoriza $x$ de $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1.1

Factoriza $x$ de $y^{2} (2 x y^{2})$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Paso 4.3.6.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Paso 4.3.6.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Paso 4.3.6.1.4

Factoriza $x$ de $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Paso 4.3.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Paso 4.3.6.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.3.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Paso 4.3.6.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Paso 4.3.6.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Paso 4.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Paso 4.3.8

Combinar.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Paso 4.3.9

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Paso 4.3.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Paso 4.3.10

Cancela el factor común de $2 y^{4} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Paso 4.3.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Paso 4.3.11

Sustituye $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $M$ .

$\frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Paso 5.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ por el factor integrador $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Mueve $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $4 x^{2} y$ por $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Mueve $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Paso 6.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Dado que $4 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4 x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Reescribe $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Paso 8.3.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Paso 8.3.2.4

Multiplica $4$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Paso 8.3.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Paso 8.3.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{4} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Como $y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{4}$ con respecto a $x$ es $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Paso 11.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Resta $2 y^{4} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Reordena los factores en los términos $2 x y^{4}$ y $- 2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Paso 12.1.2.2

Resta $2 y^{4} x$ de $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Paso 12.1.2.3

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores de $x^{2} y^{4}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 15.3

Para escribir $y^{4} x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 15.4

Combina $y^{4} x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 15.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Paso 15.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.6.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $y^{4} x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Paso 15.6.1.2

Multiplica por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Paso 15.6.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Paso 15.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$